零點的階
當解析函數在一點消失時，它可以溫和地消失、也可以強烈地消失——觸碰到零再彈開，或用力壓下並貼平在上面。零點的階恰好度量這力道有多大。它是你能提出的 (z - z_0) 的最小冪，等價地是 f 在 z_0 消失的導數個數，直到終於有一個不消失為止。單零點（一階）是一次乾淨的穿越；高階零點是一次相切，函數與它的數個導數一同消失。
精確地說：z_0 是 m 階零點，若 f(z_0) = 0、f'(z_0) = 0、...、f^(m-1)(z_0) = 0，但 f^(m)(z_0) 不為 0。等價地，z_0 處的泰勒級數從第 m 項開始：f(z) = a_m (z - z_0)^m + a_(m+1)(z - z_0)^(m+1) + ...，且 a_m 不等於 0。再等價地，f(z) = (z - z_0)^m g(z)，g 解析且 g(z_0) 不等於 0。實務上求階的方法：展開泰勒級數，讀出第一個存活係數的指標——那個指標就是 m。例如 1 - cos z = z^2/2 - z^4/24 + ... 從 z^2 開始，故在原點有二階零點。
階是使零點計數誠實的記帳工具。在代數基本定理中，n 次多項式恰有 n 個零點，唯有當每個都按其階計入時。在輻角原理中，一個圍道積分按零點的階來計數。而階控制映射下的局部行為：在 m 階零點附近，函數表現得像 (z - z_0)^m，故它把角度纏繞 m 倍、並局部為 m 對一。因此階不是一項奇談，而是函數如何、以及多強地消失的定量靈魂。
f(z) = z^3 (z - 1) 在 z = 0 有三階零點（因可提出 z^3），在 z = 1 有一階單零點。對 sin^2(z) 在 z = 0：sin z = z - ... 階為 1，故 sin^2(z) 從 z^2 開始、有二階零點。乘積的零點階相加，平方時則加倍。
階告訴你 f 中藏了多少個 (z - z_0) 因子；對乘積而言，共同零點處的階相加。
對非零解析函數，階永遠是有限的正整數——不可能是分數或無窮。「無窮階零點」意味著每個泰勒係數都消失，迫使函數在其圓盤上恆為零。