零點的孤立性
一個非零解析函數能在哪裡為零？少得驚人。零點的孤立性說：每個零點獨自佇立——在非零解析函數的任一零點 z_0 周圍，存在一個不含其他零點的小圓盤。零點從不擁擠在一起、從不構成一段線段、從不在內部點堆積。它們像孤立的點般散布，各有喘息的空間。
原因在於提因子的形式。在 m 階零點 z_0 附近，寫 f(z) = (z - z_0)^m g(z)，g 解析且 g(z_0) 不等於 0。由於 g 連續且在 z_0 非零，它在 z_0 周圍的一個小圓盤上保持非零。在那個圓盤上，f 唯一能消失的途徑是透過因子 (z - z_0)^m，而它只在 z_0 本身為零。所以 z_0 是那個圓盤中唯一的零點——它是孤立的。「非零」這個前提至關重要：若 f 恆為 0，它會處處消失，孤立性便平凡地失效。對任何不是零函數的 f，此論證適用於它的每個零點。
孤立性是解析剛性的技術引擎。因為非零解析函數的零點孤立，它們無法在定義域內部聚集；零點的一個聚點會迫使那裡所有泰勒係數消失，使函數恆為零（這就是恆等定理）。所以若兩個解析函數在一個有極限點的集合上相等——哪怕只沿著一個微小的收斂數列——它們的差就有不孤立的零點，從而必恆為零，意味著兩函數處處相等。因此孤立性是唯一性與解析延拓生長的種子。
設圓盤上的解析函數 f 在每個點 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... 處消失。這些零點聚集於 0，而 0 在圓盤內——故其孤立性失效。唯一能如此的情形是 f 恆為 0。相較之下，sin(1/z) 在 1/(n pi) 有零點、聚集於 0，但 0 是奇點、而非解析的內部點，故無矛盾。
零點只能在邊界或奇點處聚集——絕不能在函數仍解析的內部點處聚集。
孤立性可能在定義域的邊界或在奇點處失效（如 sin(1/z) 在 0 附近）。它只保證在函數確實解析的點處不會有零點的聚集。