平方映射 z^2（the squaring map）

平方映射 f(z) = z^2 是第一個真正彎折平面的複變函數。用極式來看，它的行為一目了然：若 z = r e^(i theta) 則 z^2 = r^2 e^(i 2 theta)。所以平方把每一點與正實軸所成的角加倍、把它到原點的距離平方。從原點以角度 theta 射出的射線被甩到角度 2 theta 的射線；半徑為 r 的圓變成半徑 r^2 的圓。

角度加倍有一個驚人的後果：這映射把平面繞著自己包了兩圈。當 z 掃過上半平面（角度 0 到 pi），像 w = z^2 掃過角度 0 到 2 pi——整整一圈——所以光是上半平面就已覆蓋整個 w 平面。讓 z 跑遍整個平面，每個非零的目標都被打中兩次，因為 z 和 -z 平方相同。這種「二對一」的特性，正是逆映射（平方根）為雙值、需要分支切割來馴服的原因。

在原點附近，角度加倍意味 z^2 在那裡不共形：過 0 的兩條曲線之間的直角，在像中張開成平角。其他各處（z 不為 0），這映射是共形的——局部上它看起來像是以因子 2z（即導數）做的旋轉與縮放。原點是它唯一的臨界點。平方是通往分支點、多值性、以及「漂亮的映射如何仍能摺疊平面」的最簡單窗口。