複數的 n 次方根（n-th roots of a complex number）
求 w 的一個 n 次方根，意思是求每一個滿足 z^n = w 的 z。在實數中，一個正數至多有兩個平方根，負數則一個也沒有；在複數中情形遠為乾淨而對稱：每一個非零複數恰有 n 個相異的 n 次方根，不多不少。極式讓它們現形，因為棣美弗的角度乘法能俐落地反過來運作。
方法如下，以平實的步驟走一遍。把 w 寫成極式 w = R e^(i phi)。一個 n 次方根的模必須等於 R 的實 n 次方根（尋常的正根），而它的角 theta 須使 n theta 等於 phi 加上任意整數圈。解出 theta = (phi + 2 pi k)/n。令 k = 0、1、2 直到 n - 1，得到 n 個真正不同的角；超出之後值就重複了。所以這 n 個根是 z_k = R^(1/n) e^(i (phi + 2 pi k)/n)，k = 0、1、...、n - 1。
從幾何上看，這幅圖極美：n 個根的模都相同，皆為 R^(1/n)，所以它們落在同一個圓上，而它們的角以 2 pi / n 等間隔分布，因此構成一個以原點為中心的正 n 邊形的頂點。這正是單位根（特例 w = 1）背後的 n 次方根機器，它一筆便道出為何複數不同於實數，能給出每個多項式的全部根。
8 的立方根：寫 8 = 8 e^(i 0)。則 z_k = 2 e^(i (2 pi k)/3)，k = 0、1、2，得 2、2 e^(i 2 pi/3) = -1 + sqrt(3) i、2 e^(i 4 pi/3) = -1 - sqrt(3) i——半徑為 2 的圓上的一個正三角形。
n 個根，模相同，角相差 2 pi / n：一個正 n 邊形的頂點。
別把複數的 n 次方根寫成「那個」彷彿是單一個數——它有 n 個。記號 z^(1/n) 是多值的；要釘住單一個值，得選定一個分支，與對數的情形如出一轍。