單位根（roots of unity）

n 次單位根是最簡單的 n 次方根問題的解：z^n = 1。它們就是數 1 的 n 次方根，而由於 1 的模為 1，它們全都落在單位圓上。把 n 次方根的配方套用在 w = 1（其角為 0）上，這些根是 z_k = e^(i 2 pi k/n)，k = 0、1、...、n - 1——單位圓上等間隔的 n 個點，從 1 出發，每次逆時針跨 2 pi / n。它們構成一個內接於圓的正 n 邊形，且永遠有一個頂點落在 1。

這裡藏著一個漂亮的結構。令 omega = e^(i 2 pi/n)，即 1 之後的第一個根。那麼每一個根都是這單一個的次方：這些根是 1、omega、omega^2、...、omega^(n-1)。兩個根相乘得到另一個根，而 1/omega 也是一個根——所以單位根在乘法下構成一個自足的群，一個由 omega 生成的循環群。它們是旋轉對稱的代數骨架。

你一旦留意，單位根便無處不在。對 n 至少為 2 而言它們的和恆為零（正多邊形的頂點在中心處平衡），這使它們成為離散傅立葉變換與驅動數位信號處理之快速傅立葉變換的基石。它們分類正多邊形的對稱，遍布數論（分圓域），更是最乾淨的範例，說明複數如何把「解 z^n = 1」化為單一而優雅的圖像。