歐拉公式（Euler's formula）
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歐拉公式就是這唯一一道方程式 e^(i theta) = cos theta + i sin theta。用話來說：把常數 e 升到虛數次方，會描出單位圓——當 theta 由 0 往上跑時，e^(i theta) 沿著半徑為 1 的圓逆時針行走，其實部為 cos theta，虛部為 sin theta。它是把指數（成長與衰減的語言）連向三角（旋轉與波動的語言）的橋樑，而這座橋之所以存在，藏在兩邊相吻合的泰勒級數裡。
它從何而來？把 e^x、cos x、sin x 各自展開成無窮冪級數，再把 x = i theta 代入 e^x。i 的次方在 1、i、-1、-i 之間打轉，把各項分成兩組：不留 i 的那些項，恰好重組成 cos theta 的級數；帶有一個 i 的那些項，恰好重組成 i 乘以 sin theta 的級數。這個恆等式便應運而出。這也正是為何把 e^(x + i y) = e^x (cos y + i sin y) 當成複指數的自然定義。
令 theta = pi 便得到著名的 e^(i pi) + 1 = 0，常被譽為數學中最美的方程式，因它把 e、i、pi、1、0 繫在一起。但真正的收穫是實用面的：歐拉公式把三角恆等式化為輕鬆的指數代數（cos theta = (e^(i theta) + e^(-i theta))/2，sin theta = (e^(i theta) - e^(-i theta))/(2i)），撐起複數的指數式，更是傅立葉分析、信號處理與量子力學背後的引擎。
要證 cos 2 theta = cos^2 theta - sin^2 theta，把歐拉公式平方：(e^(i theta))^2 = e^(i 2 theta) = cos 2 theta + i sin 2 theta。但 (cos theta + i sin theta)^2 = (cos^2 theta - sin^2 theta) + i (2 sin theta cos theta)。比對實部，恆等式立即現身。
歐拉公式把三角恆等式化為一行指數代數。
e^(i theta) 的模恆為 1（它住在單位圓上）——所以對每個實數 theta 都有 |e^(i theta)| = 1。別把它跟一般的 e^z 搞混，後者的模是 e^(Re z)，可以是任何正數。