棣美弗定理（de Moivre's theorem）
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棣美弗定理說，把一個模為 1 的複數升到某次方，只是把它的角度乘上倍數：對任意整數 n，(cos theta + i sin theta)^n = cos(n theta) + i sin(n theta)。在指數式中這幾乎不證自明——它就是 (e^(i theta))^n = e^(i n theta)，那條尋常的「指數相乘」規則。從幾何上看，取單位圓上一點的 n 次方，會讓它旋轉得快上 n 倍：角度被乘以 n。
更一般地，對任何 z = r e^(i theta)，升到 n 次方得 z^n = r^n e^(i n theta)：模被升到 n 次方，輻角被乘以 n。於是計算 z^n 這件事——在直角式中是反覆相乘的噩夢——在極式裡化為一步到位的計算。例如要把 1 + i 立方，把它寫成 sqrt(2) e^(i pi/4)，則它的立方是 2^(3/2) e^(i 3 pi/4) = -2 + 2i。
這定理是條雙向道，這正是它真正的威力。正著讀，它一行就算出高次方。反著讀，它破解三角學：用二項式定理展開 (cos theta + i sin theta)^n、再比對實部與虛部，便白白吐出 cos(n theta) 與 sin(n theta) 的倍角公式。而它更是抽取 n 次方根的直接踏腳石——在那裡你把角度的乘法反過來運作。
計算 (1 + i)^8。在極式中 1 + i = sqrt(2) e^(i pi/4)，所以 (1 + i)^8 = (sqrt(2))^8 e^(i 8 pi/4) = 16 e^(i 2 pi) = 16。一行解決，相較於展開八輪括號。
在極式中次方是小事一樁：模取次方、角乘倍數。
對整數指數而言，棣美弗定理是精確且單值的。對像 1/n 這樣的分數指數，它「成立」只在於給出眾根之一的意義——n 次方根共有 n 個相異值，所以你絕不可把 (cos theta + i sin theta)^(1/n) 當成單一個數。