角度與定向的保留
站在兩條曲線相交的一點，量一量它們之間的夾角——也就是它們切線方向之間的角度。現在施加一個共形映射，看看兩條像曲線相交處。令人驚訝的事實是：它們以完全相同的角度相交，而且朝同一方向轉（左轉仍是左轉）。這正是共形性的核心：導數不為零的解析映射是一個等角且保定向的映射。輸入什麼角度，輸出就是相同的角度。
理由可用一行清楚說明。設一條曲線通過 z_0，其切線方向的角為 alpha。在 f 之下，像曲線的切線方向的角變成 alpha + arg f'(z_0)：映射對每一個方向都加上相同的額外旋轉 arg f'(z_0)，因為在 z_0 附近映射的作用就是乘以單一複數 f'(z_0)。若第二條曲線以角 beta 進入，其像以 beta + arg f'(z_0) 離開。差值 (beta + arg f'(z_0)) - (alpha + arg f'(z_0)) = beta - alpha 不變。共同的旋轉相消，因此兩曲線間的夾角被保留。又因為旋轉 arg f'(z_0) 是普通旋轉（不是反射），角的方向感——它的正負、它的旋向——也被保留。
這正是解析映射與其相似物的分野。共軛映射 z -> z-bar 同樣保留每個角的大小，但它翻轉定向（它是一次鏡像反射）：逆時針的角變成順時針。這類「保角度大小但不保旋向」的映射稱為反共形（anticonformal）或間接共形。真正的共形映射同時保留大小與旋向——而這份對定向的忠實，正是「解析」而非僅僅「實可微」的幾何指紋。
在 f(z) = e^z 之下，水平線 y = c 與鉛直線 x = a 在 z 平面中以直角相交。它們的像分別是一條由原點出發、角度為 c 的射線，以及一個半徑為 e^a 的圓；該射線與該圓同樣以直角相交。互相垂直的直線格網映射成互相垂直的射線與圓的格網。
互相垂直的格線映射成互相垂直的射線與圓——角度及其旋向都被保留。
在 f'(z) = 0 之處保留性失效；那裡角度被相乘，而非保留。因此「處處共形」真正的意思是「解析且 f' 處處不為零」。