反射映射 z-bar（the conjugation map）

反射映射是 f(z) = z-bar，即複共軛：若 z = x + i y 則 z-bar = x - i y。從幾何上看，它像鏡子一樣把平面沿實軸翻折——每一點都被送到它在水平軸下方（或上方）的鏡像。已在實軸上的點原地不動；點 i 去到 -i；點 2 + 3i 去到 2 - 3i。

它保持距離（|z-bar| = |z|，因為共軛不改變模），也保持角的大小，所以乍看幾乎像旋轉或平移。但有一個關鍵差異：它反轉角的方向。若在 z 平面裡你從一條曲線逆時針掃 30 度到另一條，在像裡你會順時針掃 30 度。一個保持角大小卻翻轉其定向的映射，稱為反共形（anti-conformal），是共形映射的鏡像表親。

正是這種定向翻轉，使 z-bar 成為一個重要的警示例子。它完全連續、也完全保距，卻處處不可複導：寫 f = u + i v 得 u = x、v = -y，這違反柯西-黎曼方程。所以 z-bar 最乾淨地說明了：「作為實映射既平滑又漂亮」遠弱於「全純」。它作為積木的角色也出現在施瓦茨反射原理中，該原理利用共軛把函數越過實軸延拓。