把 f 寫成 u + i v（real and imaginary parts of f）

複數輸出 w = f(z) 本身就是一個複數，所以它分解成一個實部和一個虛部。把輸入寫成 z = x + i y、輸出寫成 f(z) = u + i v，這兩個實數 u 與 v 各自都依賴於兩個實數 x 與 y。於是單一個複變函數 f 暗中攜帶了兩個雙實變數的實函數：u(x, y) 與 v(x, y)。我們寫作 f = u + i v。

如此拆解 f，把一個複數方程式變成兩個實數方程式，這正是把複分析接上尋常多變數微積分的方式。要求出 u 和 v，只需計算 f(x + i y) 再把實部與虛部分開。取 f(z) = z^2：則 f(x + i y) = (x + i y)^2 = x^2 - y^2 + i (2 x y)，所以 u(x, y) = x^2 - y^2、v(x, y) = 2 x y。這一對 (u, v) 就是 f 做的全部事情，用實座標寫出來。

這套記帳法是通往幾乎每個更深想法的橋樑。f 的連續性將會等同於 u 與 v 都連續；柯西-黎曼方程（u_x = v_y 與 u_y = -v_x）是連結這兩部分的條件；而調和函數之所以出現，是因為對好的 f，u 與 v 都滿足拉普拉斯方程 u_xx + u_yy = 0。學會在「f」與「(u, v) 這一對」之間流暢往返，是一項核心技能。