用 u 與 v 表述的連續性（continuity in terms of u and v）
關於複連續性，最有用的事實是：它化約成你早已從多變數微積分學過的東西。寫 f = u + i v，其中 u(x, y) 與 v(x, y) 是實部與虛部。那麼 f 在點 z_0 = x_0 + i y_0 連續，恰好當兩個實函數 u 與 v 在 (x_0, y_0) 處依尋常的雙變數意義皆連續。複連續性就是分量連續性。
之所以成立，直接來自模。f 的變化量大小是 |f(z) - f(z_0)|，這是分量為 u 的變化與 v 的變化的那個向量的長度。當兩個分量變化都小時，這長度恰好就小——這正是不等式 |u - u_0| <= |f - f_0| 與 |v - v_0| <= |f - f_0|、連同 |f - f_0| <= |u - u_0| + |v - v_0| 的內容。所以 f 保持靠近 f(z_0)，當且僅當 u 與 v 各自都保持靠近它們的值。
這在實務上很解放：要檢查複變函數的連續性，你完全不需要新工具——只要確認兩個 (x, y) 的普通實函數連續，用上所有熟悉的工具（多項式連續、極限的代數、夾擠定理）即可。例如 f(z) = z^2 有 u = x^2 - y^2、v = 2 x y，兩者顯然連續，所以 z^2 處處連續。同一套翻譯也支撐著更深的柯西-黎曼故事，在那裡 u 與 v 被當作一對耦合來研究。
對 f(z) = e^z，分離後得 u = e^x cos(y)、v = e^x sin(y)。各自都是連續實函數的乘積與合成，所以兩者處處連續；因此 e^z 在整個平面上連續。
檢查 f 的連續性化約為檢查兩個實函數 u 與 v 的連續性。
這個等價只關乎連續，不關乎可微。u 與 v 可以都是完美平滑的實函數，而 f 仍不可複導——後者還需要連結 u 與 v 的柯西-黎曼方程，而不只是各自漂亮。