複變函數的極限（the limit of a complex function）
說 f(z) 在 z 趨近某點 z_0 時趨近某值 L，直覺上和普通微積分裡的意思相同：只要把輸入 z 取得夠靠近 z_0，就能讓輸出 f(z) 要多靠近 L 就多靠近 L。我們寫成「f(z) 在 z 趨於 z_0 時的極限等於 L」。「靠近」由模來衡量：|f(z) - L| 小表示輸出靠近 L，|z - z_0| 小表示輸入靠近 z_0。
精確地說：極限為 L，是指對每個容許誤差 epsilon > 0，都存在一個半徑 delta > 0，使得只要 0 < |z - z_0| < delta，就有 |f(z) - L| < epsilon。畫面是兩個圓盤：給定 w 平面上 L 周圍任何半徑 epsilon 的小目標圓盤，你都能在 z 平面上 z_0 周圍找到一個半徑 delta 的小圓盤，其中的點（除 z_0 本身外）全部落入目標圓盤內。f 在 z_0 處的值刻意被忽略——只有趨近的過程要緊。
其中的關鍵，也是複極限比實極限嚴格的原因，在於 |z - z_0| < delta 是一整個圓盤：z 可以從平面上任何方向趨近 z_0——沿實軸、沿虛軸、沿一條螺線——而同一個 L 必須在每一條路徑上都達到。在實數線上你只有兩個方向（左與右）要協調；在平面上你有無窮多個。若有兩條趨近路給出不同答案，極限就根本不存在。
z^2 在 z 趨於 i 時的極限是 -1：當 z 從任何方向靠近 i，z^2 就靠近 i^2 = -1。相對地，z-bar/z 在 z 趨於 0 時的極限不存在，因為沿實軸趨近得到 1，而沿虛軸趨近得到 -1。
唯有每一個趨近方向都得到相同的值，複極限才存在。
一個方便的捷徑：f = u + i v 的極限存在並等於 A + i B，恰好當 (x, y) 趨於 (x_0, y_0) 時 u(x, y) 趨於 A 且 v(x, y) 趨於 B。複極限不過是一對普通的雙變數實極限。