極限與趨近方向無關（directional independence of the limit）

這是使複極限變得苛刻的唯一特徵，因此值得自成一個名字。要使 f(z) 在 z 趨於 z_0 時的極限存在並等於 L，無論 z 以何種方式潛行向 z_0，輸出都必須趨近 L——而在平面上潛行的方式有無窮多種：沿無窮多方向之一筆直走、沿一條曲線走、沿一條螺線走。這每一種趨近都必須在同一個 L 上達成一致。

這給了你一個乾淨而有力的「不存在」判別法。只要你能找到兩條進入 z_0 的不同路徑，沿著它們 f 趨於兩個不同的值，極限就不可能存在——結束。經典例子是 f(z) = z-bar/z 在 z_0 = 0 附近。沿正實軸趨近（z = t，t -> 0+）：則 z-bar/z = t/t = 1。沿虛軸趨近（z = i t）：則 z-bar/z = (-i t)/(i t) = -1。兩條路、兩個答案，所以無極限。注意你甚至不必測試每一條路——一處不一致就是致命的。

把這和單變數實極限對照，那裡「所有趨近」只意味左極限和右極限；兩個數一致就夠了。躍升到一整個方向圓盤，正是為什麼複極限、以及建立其上的複導數，比它的實表親僵硬得多。這份僵硬不是麻煩——它正是後來全純函數那令人驚嘆的剛性與平滑性的源頭。