複導數（complex derivative）

在實數線上，導數量度的是曲線的斜率——當你微微推動輸入時，輸出變化得多快。複導數問的是同一個問題：f'(z) 就是 f 在點 z 處的變化率，只不過現在輸入 z 與輸出 f(z) 都是複數，所以「推動」z 意味著在平面上朝任何方向移動它。

形式上，f'(z_0) 是差商 (f(z) - f(z_0)) / (z - z_0) 當 z 趨近 z_0 時的極限。關鍵在於：z 可以從無窮多個方向趨近 z_0——沿實軸、沿虛軸、沿螺線、任何方式——而我們要求無論怎麼趨近都得到同一個極限值。若此值存在，它就是 f'(z_0)。例如對 f(z) = z^2，差商為 (z^2 - z_0^2)/(z - z_0) = z + z_0，趨於 2 z_0，故 f'(z) = 2z，與實數情形完全一致。

這種「與方向無關」正是整門學科的核心。把 z = x + i y 看成平面映射時，一個實可微的映射只要偏導數存在並線性地組合即可；但複可微的映射必須滿足遠為嚴苛的條件，這份額外的剛性正由柯西-黎曼方程刻畫。回報極為豐厚：一個函數只要在開集上具有「一次」複導數，竟然就有無窮多次導數並等於自身的冪級數——這在實變數中毫無對應。