z^n 與多項式的導數

本學科中最常用的導數，是整數冪 z^n 的冪法則：z^n 的導數是 n z^(n-1)，正是你在實微積分熟知的精簡公式。由它出發，每個多項式都可逐項微分，於是複分析的計算引擎從此啟動。

你可以直接從差商證明它，無需死記。當 n 為正整數時，(z^n - z_0^n)/(z - z_0) 在代數上分解為 z^(n-1) + z^(n-2) z_0 + ... + z_0^(n-1)，共 n 項；當 z -> z_0 時每項趨於 z_0^(n-1)，得 n z_0^(n-1)。此法則延伸到負整數冪（故 1/z = z^(-1) 的導數為 -z^(-2)，在 z = 0 之外成立），並在分支固定後延伸到一般複指數。

結合線性性，這立即微分任何多項式：a_n z^n + ... + a_1 z + a_0 的導數為 n a_n z^(n-1) + ... + a_1。正因多項式與（避開極點的）有理函數皆解析且導數易算，它們是第一大批可演練的例子——也是泰勒級數的構件，其中每個係數都是某點的某階導數經縮放而得。