施瓦茨反射原理（Schwarz reflection principle）

設一個解析函數定義在某區域的上半部、連續延拓到實軸的一段、且在那一段上取實值。施瓦茨反射原理說，你可以免費得到它在下半部的值，靠的是鏡射：對實軸反射並取共軛。函數便解析地延拓到反射後的區域，不費額外功夫、不必做任何選擇。

做法很具體。若 f 在上半區域解析、在實軸邊緣取實值，則在下半區域上把延拓後的函數定義為 F(z) = f(z-bar) 的共軛。平白地說：要在軸下方某點求值，先把該點反射到軸上方（即共軛 z-bar），在那裡用 f，再對答案取共軛。因為複共軛把定向反轉了兩次——一次在輸入、一次在輸出——這個拼接後的函數結果跨越接縫是解析的，而軸上的實值性正是使兩半連續吻合的關鍵。

這是解析延拓最簡單、最幾何化的實例，而且可推廣：反射對圓弧也行得通（用對圓的反演取代共軛），只要 f 把該弧映到一條直線或圓上。它是延拓施瓦茨-克里斯托費爾映射、研究帶實邊界值函數、以及靠對稱建構自同構的標準工具。值得記住的誠實條件：你需要真正連續延拓到那一段、且邊界資料為實值（或落在弧上）——若無這些，反射未必解析。