解析延拓的唯一性
當你把一個解析函數從一小塊延拓到更大的區域時，你也許會擔心做法有很多種，每種在新領域給出不同的答案。令人安心的消息是：本質上只有一種。若兩個解析函數在原本那一塊上相符——其實只要它們在任一小圓盤上、甚至在一條曲線上、或在一個堆積到某內點的點列上相符——那麼它們在任何同時包含兩者的連通區域上處處相符。所以一旦你在一粒微小的種子上固定了函數，其餘的解析延拓就被完全決定了。
這不是魔法；這是恆等定理在發揮作用。恆等定理說：若連通定義域上的兩個解析函數 f 與 g 在一個於域內有極限點的集合上重合，則 f = g 處處成立。背後的理由是解析函數的剛性：它們的零點是孤立的，因此差 f - g 既解析又在一個非孤立集合上為零，必恆等於零。把它用於延拓：假設兩個延拓在第一個圓盤內都與原級數相符。它們的差在合併區域上解析，且在整個圓盤上為零——一個塞滿極限點的集合——故由恆等定理，差在兩者都有定義的地方處處為零。兩個延拓重合。
在「連通」這個詞裡、更精確地說在「單連通」裡，藏著一個關鍵的提醒。沿著任一條互相重疊的圓盤鏈，唯一性成立；但若較大的區域有一個洞，你可以把「同一個」起始函數沿兩條不同路線繞洞延拓，到達終點時得到兩個確實不同的值——對數函數繞 0 正是如此。所以唯一性是「局部且沿路徑」的；全域的單值性是另一個更微妙的問題，將由單值性定理與黎曼曲面來解決。
假設單位圓盤上某個解析函數對 (-1, 1) 內所有實數 x 都等於 sin z。這些點互相堆積（圓盤內有極限點），故由恆等定理，該函數在整個圓盤上必「就是」 sin z，於是 sin z 是它延拓到整個平面的唯一延拓。沒有任何解析函數在一段實區間上與 sin 相符、卻在別處與之相異。
在一個具有內部極限點的集合上相符，便逼使在整個連通區域上相符——延拓被釘死了。
唯一性是在連通定義域內沿路徑成立的；它並不保證一個單值的全域函數。沿不同路線繞洞延拓，可能落在不同的分支上——那是多值性，不是矛盾。