黎曼映射定理預覽

我們已收集了一套明確共形映射的工具箱——莫比烏斯映射、exp 與 log、茹科夫斯基、施瓦茨-克里斯托費爾。如今一個更宏大的問題浮現：我們能指望把多少區域共形地映到圓盤上？會不會存在某個奇形怪狀、滿是曲線與凹口的區域，是任何共形映射都觸及不到的？黎曼映射定理給出一個令人屏息的答案：本質上每一個合理的區域都能映到圓盤上。它是整個學科的中心存在定理，而本條目是預覽——使用正規族的完整證明留待後文。

以下是精確敘述。設 D 是平面上任一單連通開區域，且不是整個平面（因此它是一個「真」子區域，而「單連通」意指它沒有洞——其內任一迴圈皆可收縮到一點）。則存在一個把 D 映滿開單位圓盤的共形雙射 f。此外，若你又指定 D 中某選定內點映到中心 0、且 f' 在該處為正，則此映射唯一。因此從共形幾何的觀點看，所有這樣的區域——一個正方形、一團變形蟲狀的斑塊、一條彎曲若爾當曲線的內部、一條無限條帶——都與圓盤可互換，因而彼此可互換。在共形等價的意義下，本質上只有一個單連通區域（加上下面所述的兩個例外）。

兩個誠實的警告至關重要，且都赫赫有名。第一，定理是非建構性的：它保證映射存在，卻不產出公式。為一個給定區域找出明確映射，在閉形式下可能很難或不可能——這正是為何明確映射工具箱（施瓦茨-克里斯托費爾及其同伴）依舊重要。第二，假設不可省略。「不是整個平面」是必要的，因為由劉維爾定理，任何由整個平面映入有界圓盤的解析映射必為常數，故平面本身無法映到圓盤上。而「單連通」是必要的，因為一個圓環（帶洞的區域）確實不共形於圓盤——你無法用一個保角映射把洞填平。接受這些條件的回報是巨大的：它把任意單連通區域上的邊值問題，化約為圓盤這個唯一、已被完全理解的情形。