函數關係的恆存性
若一個代數恆等式對實數成立，把實變數換成複變數後它還成立嗎？函數關係的恆存原理說：是的，自動成立，只要所涉函數解析、且恆等式在一個足以援引恆等定理的集合上成立。在實線上為真的方程，免費地在整個複平面上為真，無須重新計算。它是恆等定理喬裝成的一件實用工具。
機制如下。設你有一個恆等式 F(z) = G(z)，其中 F 與 G 由熟悉的函數解析地構成，而你已知對所有實 z（或在任何有內部極限點的集合上）F = G。作差 F - G：它解析且在一個有極限點的集合上消失，故由恆等定理它恆為零，給出對所有複 z 的 F = G。你早已信任的實變證明做了雙重工作：它在實數上建立了恆等式，而恆存性把它帶到平面。陷阱在於兩邊都必須確實解析——若一個關係涉及模、共軛或分支選擇，它可能無法延拓，因為那些運算不解析。
這個原理悄悄支撐了本科目一半的初等計算。加法公式 e^(z+w) = e^z e^w、畢氏恆等式 sin^2 z + cos^2 z = 1、關係 e^(iz) = cos z + i sin z，以及棣美弗公式，全都起於實數或代數事實，再經恆存性成為複數定理。它省下巨量勞動：你不必在複數情形重新推導每個恆等式，只需在容易處驗證它，其餘交給解析性。但永遠先檢查解析性——恆存性只是解析關係的特權。
我們知道對所有實 x, y 有 e^(x+y) = e^x e^y。固定 y，把兩邊視為 x 的解析函數；它們在實軸上相等，故由恆存性對所有複 z 相等：e^(z+y) = e^z e^y。現固定那個複 z、解析地變動 y——在實 y 軸上的相等散布到所有複 w，給出處處的 e^(z+w) = e^z e^w。
一個兩步的恆存性論證把實恆等式逐個變數地提升為完全複數的恆等式。
恆存性只適用於解析函數之間的關係。涉及 |z|、共軛 z-bar 或「那個」實部的恆等式「不」解析，一般不會延續——例如 |e^z| = e^x，而非把 e^(Re z) 當解析來處理。