有理函數的瑕積分（improper integrals of rational functions）

許多在整條實軸上的積分，例如從負無窮到無窮的 dx / (x^2 + 1) 或 dx / (x^4 + 1)，明明是有限的，卻很難用實原函數求出，尤其當分母次數高時。圍道法藉由把實軸閉合成複平面中的迴路、收割留數來算它們。

策略：取實有理函數 P(x) / Q(x)，其中 Q 無實零點、且 Q 的次數至少比 P 大 2（使積分收斂）。構造一條圍道，沿實軸從 -R 走到 R，再用上半平面中半徑 R 的大半圓閉合。留數定理說整個迴路積分等於 2 pi i 乘以 P(z)/Q(z) 在上半平面各極點的留數和。現在令 R 趨於無窮：半圓的貢獻收縮到零（因為 P/Q 像 1/R^2 或更快地衰減，而弧長只像 R 那樣增長，故乘積消失——這正是次數至少大 2 這個條件在起作用）。存活下來的恰是你想要的實積分。

於是規則乾淨地浮現：從負無窮到無窮的 P(x)/Q(x) dx 的積分 = 2 pi i 乘以 P(z)/Q(z) 在上半平面各極點的留數和。你也可以改向下閉合，這會順時針包住下半平面的極點並引入一個負號；答案相同。這是圍道求實積分最乾淨的入門，而一旦加上約當引理，這套樣板就推廣到震盪型被積式。