大半圓圍道（large semicircle contour）
要把整條線上的實積分變成留數定理能攻擊的閉迴路，你需要在不改變其值的前提下把線折回自身。大半圓是標準作法：保留從 -R 到 R 的實段，再沿一個鼓進上半平面（或下半平面）的大半圓弧，從 R 折回 -R。結果是一條 D 字形的閉圍道。
具體上這條圍道有兩段：直徑，即由左到右走的實區間 [-R, R]；以及弧 C_R，即逆時針從 R 回到 -R 的上半圓 |z| = R。對整個迴路套用留數定理：實段上的積分加上 C_R 上的積分等於 2 pi i 乘以所圍住的留數。策略接著是令 R 趨於無窮。實段積分變成你真正想要的實積分。整個方法的成敗繫於一個問題：當 R 增大時，弧 C_R 上的積分是否趨於零？若是，實積分便等於留數和。
弧是否消失取決於被積式衰減多快。對有理函數 P/Q（deg Q 至少 deg P + 2），ML 不等式便能定奪：弧上 |P/Q| 大約至多 1/R^2，弧長為 pi R，故弧積分受 pi R / R^2 = pi / R 之類的界限約束，趨於 0。對像 e^(i a x) f(x) 這種衰減較慢的震盪型被積式，粗糙的 ML 界限不夠，你要升級到約當引理，它利用指數在上半平面的衰減。選上半還是下半平面由被積式在何處衰減決定——對 e^(i a x)（a 為正），因子 e^(i a z) 在上半平面衰減，故你向上閉合。
對實軸上的 dx / (x^2 + 1)，在弧 |z| = R 上被積式至多約 1 / (R^2 - 1)，弧長為 pi R，故由 ML 不等式弧積分至多 pi R / (R^2 - 1)，當 R 增大時趨於 0。
當被積式衰減夠快時，弧的貢獻由 ML 不等式消亡。
弧消失並非自動的——對每個被積式都必須證明。在弧上衰減太慢（或增長）的函數會破壞此法，這正是需要約當引理或另選圍道的時候。