約當引理（Jordan's lemma）
/ zhor-DAHN /
樸素的 ML 界限說半圓弧上的積分至多為（弧長）乘以（被積式的最大值）。對像 e^(i a z) f(z) 這種震盪型被積式（f 僅像 1/R 衰減），這個粗糙界限約給出 (pi R) 乘以 (1/R) = pi，不趨於零——方法看似卡住了。約當引理是更銳利的估計，它認真看待震盪的指數，恰好拯救這種情形。
敘述：設 f 在上半圓 C_R（半徑 R）上連續，並設 |f(z)| 在 C_R 上的最大值（記作 M_R）當 R 增大時趨於 0。則對任意正常數 a，e^(i a z) f(z) dz 沿 C_R 的積分當 R 趨於無窮時趨於 0。其機制是：在上半平面取 z = R e^(i theta)，e^(i a z) 等於 e^(i a R cos theta) 乘以 e^(-a R sin theta)；只要 sin theta 為正，第二個因子就指數衰減，而上半弧大部分都是如此。關鍵不等式（約當不等式，即在 [0, pi/2] 上 sin theta 至少為 2 theta / pi）馴服了端點附近的小區域，整個弧積分受 pi M_R / a 約束，因 M_R 趨於 0 故它趨於 0。
這是傅立葉型積分不可或缺的工具，即從負無窮到無窮的 f(x) e^(i a x) dx，其中你想要某物乘以 cos(a x) 或 sin(a x) 的實積分。它讓你向上閉合圍道（當 a 為正），即使 f 衰減得對樸素半圓論證而言太慢，也知道弧會消失。值得強調的誠實要點：弧消失不是免費的——若沒有指數的方向性衰減，大弧上的積分未必消亡，而約當引理正是對 e^(i a z) 而言它確實消亡的憑證。
要求實軸上 (cos x) / (x^2 + 1) dx 的積分，把它寫成 e^(i x) / (x^2 + 1) dx 積分的實部。因子 f(z) = 1/(z^2+1) 像 1/R^2 衰減，故約當引理殺掉上半弧；上半平面極點 z = i 給出值 pi / e。
約當引理讓 e^(i a z) f(z) 的弧消失，即使 f 衰減緩慢。
引理需要 a 為正（用於向上閉合），且針對 e^(i a z)，而非直接針對 cos(a z) 或 sin(a z)——後兩者在某一半平面會增長。套用前務必先把 cos 與 sin 化為指數的實部或虛部。