傅立葉型震盪積分（Fourier-type oscillatory integrals）
/ FOOR-ee-ay /
物理與訊號處理中有一整族積分長成這樣：實軸上 f(x) cos(a x) dx 或 f(x) sin(a x) dx 的積分，其中 f 在無窮遠處衰減，但餘弦或正弦永遠震盪。震盪使這些積分變得微妙，圍道法藉由把震盪當成複指數的實部或虛部，乾淨地算出它們。
步驟。先把三角因子併入指數：cos(a x) = e^(i a x) 的實部、sin(a x) = e^(i a x) 的虛部。所以改算實軸上 f(x) e^(i a x) dx 的積分，最後再取答案的實部或虛部。現在移到複平面：構造大半圓圍道、套用留數定理、用約當引理丟棄弧（它不像樸素 ML 界限，即使 f 僅像 1/R 衰減也能成功，因為當 a 為正時 e^(i a z) 在上半平面指數衰減）。結果是 f(x) e^(i a x) dx 的積分 = 2 pi i 乘以 f(z) e^(i a z) 在上半平面各極點的留數和。
這些是傅立葉變換、繞射、與線性系統響應背後的積分，這就是為何此技巧在應用數學中如此核心。a 的符號告訴你往哪邊閉合：a 為正向上閉合、a 為負向下閉合（e^(i a z) 在那裡衰減）。而你必須經過 e^(i a z) 而非直接用 cos(a z) 的理由既誠實又重要：cos(a z) 與 sin(a z) 在某一半平面會指數爆掉，弧便不會消失——只有單側的指數以正確的方式衰減。
對實軸上 (sin x) / x dx 的積分（a = 1），這是 e^(i z) / z dz 積分的虛部；極點落在實軸上的 0，故縮排圍道加上約當引理給出著名的值 pi。
把震盪化為 e^(i a x)，套用留數加約當引理，再取實部或虛部。
切勿在圍道積分中天真地把 cos(a x) 換成 cos(a z)；cos(a z) 在某一半平面會增長、弧不會消失。務必用單側指數 e^(i a z)，最後再復原 cos 或 sin。