縮排圍道（indented contour）

留數定理要求奇點嚴格落在圍道內部、絕不在其上。但許多實積分——尤其傅立葉型——的極點恰恰落在實軸上、正好在你想沿之積分的路徑上。縮排圍道是解方：你做一個小小的繞道，一個小半圓，繞過那個作怪的極點，使路徑遠離奇點，同時只以一個受控、可計算的量改變值。

對實軸上 x = c 的單極點，它如何運作。圍道不直接穿過 c，而是以一個繞 c、半徑 epsilon 的小半圓向下凹（或向上拱）。當 epsilon 縮向零時，兩件事發生：c 兩側的直線部分合成實積分的主值，而小半圓貢獻一個精確、不消失的量。關鍵事實：繞單極點、半徑 epsilon 的小半圓上的積分，當 epsilon 趨於 0 時，趨於正或負 pi i 乘以該極點的留數——注意是一半，pi i 而非 2 pi i，因為半圓只張開 pi 的角度而非完整的 2 pi。符號取決於繞道是順時針（負）還是逆時針（正）。

把它與留數定理拼起來，便得到實軸上有極點時的可用公式：實積分的主值等於 2 pi i 乘以嚴格圍住的留數，減去每個被縮排的實極點貢獻的 pi i 乘以留數（符號由你如何縮排決定）。這是處理像 (sin x) / x dx 這類被積式在原點有極點的積分的標準路徑。關鍵的誠實：小弧並不消失——它恰好貢獻半個留數，而忘掉那一半是圍道積分中最常見的錯誤之一。