主值積分（principal-value integral）
/ koh-SHEE for Cauchy /
某些積分在普通意義下發散，因為被積式在內部某點爆掉，然而這個爆破是反對稱的——它在一側衝向正無窮、在另一側衝向負無窮，而這兩個無窮想要相消。柯西主值是認真看待這種相消的細緻辦法，給一個原本無定義的積分指派一個有限、有意義的數。
定義：設 f 在 [a, b] 內部有單一壞點 x = c。普通積分失敗，因為每個單側部分都發散。主值，記作 P.V. 積分，是當 epsilon 縮向 0 時，從 a 到 c - epsilon 的積分與從 c + epsilon 到 b 的積分之和的極限——也就是，你挖掉繞 c 的一個半寬 epsilon 的對稱小區間，讓它從兩側以相同速率收攏。對稱性是關鍵所在：兩側的無窮在等距處被切斷而相消，有限的極限便存活。對從負無窮到無窮的積分同理，它指的是從 -R 到 R 隨 R 增大的對稱極限，即使積分不絕對收斂也可能收斂。
當極點落在積分路徑上而非路徑外時，圍道積分恰恰產生主值。用一個繞實極點的小半圓縮排圍道，把貢獻分成主值（對稱的實部分）加上半留數項（縮排），留數定理便乾淨地表出主值。誠實的警告：主值不等於普通的收斂積分——它是依賴對稱相消的一個特定正規化值，你必須聲明你在取它；不同的（非對稱）截斷可能給出不同的極限、或根本沒有極限。
從 -1 到 1 的 dx / x 在普通意義下發散，但其主值為 0，因為（從 -1 到 -epsilon 加上從 epsilon 到 1）的 dx / x 的極限，因 1/x 的奇對稱性而相消。
挖掉繞壞點的對稱 epsilon 窗口，讓它均勻收攏。
主值可以在積分於普通或絕對意義下發散時仍存在，故它是較弱的概念；你必須明確標示 P.V.。對稱截斷至關重要——非對稱的截斷可能完全改變值。