單極點留數公式（simple-pole residue formula）

如果每次都得手動抽出一個羅朗係數，留數演算將令人精疲力竭。幸好，對最常見的那種壞點——單極點，函數在此像 1 / (z - z_0) 那樣爆掉、不更糟——有一條一行的配方，完全跳過級數。

規則：若 f 在 z_0 有單極點，則 Res(f, z_0) = z 趨近 z_0 時 (z - z_0) f(z) 的極限。道理一目了然。在單極點附近羅朗級數為 f(z) = a_{-1} / (z - z_0) + a_0 + a_1 (z - z_0) + ...。整式乘上 (z - z_0)：得 a_{-1} + a_0 (z - z_0) + a_1 (z - z_0)^2 + ...。現在除 a_{-1} 外每一項都含有因子 (z - z_0)，故當 z 趨近 z_0 時它們全部消失，只剩 a_{-1} = Res(f, z_0)。乘上 (z - z_0) 正是抵消奇點、使極限得以存在的關鍵。

這是整個留數行業的主力公式，因為單極點無處不在——分母有相異根的有理函數、三角被積式、與傅立葉積分都端出單極點。只要確認極點真的是單的：若你把這個極限用在二階極點上，只乘一個因子 (z - z_0) 後仍留下一個 1 / (z - z_0) 在爆掉，極限為無窮，這是公式誠實地告訴你用錯了配方。