複三角函數（the complex trigonometric functions）

我們認識的 cos 與 sin 是直角三角形中的比值，或是點繞單位圓運動時的座標。這兩種圖像都看不出 cos(2 + 3 i) 應該是什麼。把它們延拓到複數輸入的乾淨辦法，是注意到在實數線上，它們其實一直都是用指數函數悄悄構造出來的。

歐拉公式給出 e^(i t) = cos t + i sin t 與 e^(-i t) = cos t - i sin t。相加相減便解出三角函數：cos t = (e^(i t) + e^(-i t)) / 2，sin t = (e^(i t) - e^(-i t)) / (2 i)。我們只需把這同樣的公式中的 t 換成複數 z：cos z = (e^(i z) + e^(-i z)) / 2，sin z = (e^(i z) - e^(-i z)) / (2 i)。由於 e^z 是整函數，cos z 與 sin z 也是整函數，所有熟悉的恆等式原封不動地保留：sin^2 z + cos^2 z = 1、sin z 的導數是 cos z、cos z 的導數是 -sin z、和角公式，以及沿實方向的 2 pi 週期性。

把 z = x + i y 拆開並展開，得到實用公式 sin z = sin x cosh y + i cos x sinh y 與 cos z = cos x cosh y - i sin x sinh y，其中 cosh 與 sinh 是雙曲函數。它們一眼就看出新的行為：當 y 離開實軸時，cosh y 與 sinh y 這些因子無界地增長，這正是為什麼複正弦與複餘弦即使其實版本始終介於 -1 與 1 之間，自身卻是無界的。