正弦與餘弦的變換（transform of sine and cosine）

振盪無處不在——振動的弦、交流電、擺動的鐘擺——而振盪的語言就是正弦與餘弦。所以 sin 與 cos 的變換是不可或缺的表項，它們帶著那個洩漏天機的 s^2 + a^2，宣告「某物正以頻率 a 擺動」。

兩條規律是 L{sin(at)} = a / (s^2 + a^2) 與 L{cos(at)} = s / (s^2 + a^2)。它們共用同一個分母 s^2 + a^2；只有分子區分它們——正弦是一個單獨的 a，餘弦是一個 s。看清它們最乾淨的方法是透過尤拉公式：e^(iat) = cos(at) + i sin(at)，所以 L{e^(iat)} = 1/(s - ia)。把這個單一的複變換拆成實部與虛部，一次就交給你兩個三角變換，分母 (s - ia)(s + ia) = s^2 + a^2 自動落出。角度裡的因子 a 就是頻率，正是你在分母看到的那個 a^2。

當你反演時在分母裡遇到 s^2 + a^2，那就是你的暗號：解會振盪。項 s/(s^2 + 9) 變成 cos(3t)；項 3/(s^2 + 9) 變成 sin(3t)。這是振動在 s 域的特徵，也正是為什麼用拉普拉斯解彈簧－質量方程時自然產生自然頻率下的正弦與餘弦——這和特徵方程法給的答案相同，只是用代數而非猜測達到。