指數 e^(at) 的變換（transform of e^(at)）

指數函數 e^(at) 是增長與衰減的自然語言——銀行利息、放射性物質、冷卻中的咖啡、電路的自然模態。所以它的拉普拉斯變換是整張表中最常用的條目之一，而且令人欣慰地，它離常數的變換只差一次平移。

規律是 L{e^(at)} = 1 / (s - a)。要看它從何而來，代入定義：integral from 0 to infinity of e^(-st) e^(at) dt = integral from 0 to infinity of e^(-(s - a) t) dt = 1/(s - a)，對 s > a 有效。兩個指數合併成一個 e^(-(s - a) t)，這就像常數的情形，只是把 s 換成了 s - a——這正是為什麼這個變換是整個第一平移定理的種子。注意答案在 s = a 有個「極點」：分母在那裡為零，恰好在 s 域中標出原指數的增長率。

這一個事實默默驅動著整個常係數的故事。特徵方程法告訴你，線性方程的解是由指數 e^(at) 組成的，而 1/(s - a) 就是每個指數在 s 域中的指紋。當你反演時看到因子 1/(s - 3)，你立刻讀成 e^(3t)。極點位置 a 告訴你那個模態的增長（a > 0）或衰減（a < 0）。