第一平移定理（first shifting theorem）
把一個函數乘上指數——取 f(t) 構成 e^(at) f(t)——極為常見：每個阻尼振盪都恰好是 e^(-bt) 乘以一個正弦。第一平移定理就是描述這種乘法在 s 域中作用的簡單而漂亮的規律。答案是：它只是把變換橫向滑移。
定理說 L{e^(at) f(t)} = F(s - a)。換句話說：在時間域把 f(t) 乘上 e^(at)，會把它的變換 F(s) 平移 a，把每個 s 換成 s - a。這就是全部內容——整個變換的水平平移。「s-平移」這名字抓住了它：你把圖像 F(s) 沿 s 軸平移 a。你可以直接從定義讀出，因為 e^(at) 和 e^(-st) 併成 e^(-(s - a)t)，這正是把原積分裡的 s 換成 s - a。
這一個定理就把你的表手動翻倍。你知道 L{cos(bt)} = s/(s^2 + b^2)；平移定理立刻給出 L{e^(at) cos(bt)} = (s - a)/((s - a)^2 + b^2)——只要處處把 s 換成 s - a。由於阻尼振動 e^(-bt) cos(wt) 是欠阻尼彈簧與 RLC 電路的家常便飯，每當特徵方程有複根時你就靠這條規律。反過來，看到像 (s + 1)^2 + 4 這種平移過的分母，就告訴你要配方、辨認出 a = -1，並預期一個 e^(-t) 乘以正弦。
反演 (s + 2)/((s + 2)^2 + 9)。分母平移了 a = -2；把平移還原後是 s/(s^2 + 9)，即 cos(3t)。平移定理接著乘上 e^(-2t)，給出 e^(-2t) cos(3t)——一個阻尼振盪。
把 s 換成 s - a 平移了變換；反過來，配方就能找出 a。
這個「第一」平移是在 s 域中移動（乘以指數）。別把它和第二平移定理混淆，後者在 t 域中平移（延遲開啟），是屬於另一主題的另一條規律。