共軛複根情形（complex conjugate roots case）

系統何時會振盪而非單純衰減？當特徵方程根本沒有實根，而是一對複數時。這是每個顫動的彈簧、每個擺動的單擺、每個振鈴的調諧電路的情形：振動的數學，藏在一個虛數之內。

若 a r^2 + b r + c = 0 的判別式 b^2 - 4ac < 0，其根為一對共軛複數 r = alpha ± beta i，其中實部 alpha = -b/(2a)，虛部 beta = sqrt(4ac - b^2)/(2a)。形式解 e^((alpha + beta i)x) 與 e^((alpha - beta i)x) 含有 i，但我們要的是實值解。尤拉公式 e^(i theta) = cos(theta) + i sin(theta) 來解救：寫 e^((alpha ± beta i)x) = e^(alpha x)(cos(beta x) ± i sin(beta x))，取其實部與虛部，便得到兩個實的、無關的解，e^(alpha x) cos(beta x) 與 e^(alpha x) sin(beta x)。通解為 y = e^(alpha x)(c1 cos(beta x) + c2 sin(beta x))。

如今根的兩個部分講述一個乾淨的物理故事。實部 alpha 控制包絡：alpha < 0 表示振盪衰減（阻尼振動逐漸平息），alpha = 0 表示它以恆定振幅永遠持續（純簡諧運動），alpha > 0 表示它增長。虛部 beta 是擺動的角頻率。所以一個複根同時編碼了系統抖動的快慢、以及那抖動消退的快慢，一個振盪子的全部定性行為，盡在兩個實數之中。