尤拉公式（Euler's formula）用於解
/ OY-ler /
當特徵方程拋出複根時，你會暫時拿到一個像 e^((1 + 2i)x) 的解，一個完全合格的函數，卻寫著虛指數，難以想像，當然也不是物理問題所要求的實值答案。尤拉公式正是把這些虛指數變回老實的餘弦與正弦的橋樑。
公式是 e^(i theta) = cos(theta) + i sin(theta)。它說：把 e 升到虛數次方，會產生單位圓上的一點，實部是餘弦，虛部是正弦。對常微分方程，我們把它用在共軛根 alpha ± beta i 上。寫 e^((alpha + beta i)x) = e^(alpha x) e^(i beta x) = e^(alpha x)(cos(beta x) + i sin(beta x))。實部 e^(alpha x) cos(beta x) 與虛部 e^(alpha x) sin(beta x) 本身都是（實）方程的實解，這一事實有保證，因為係數是實的，所以一個複解的實部與虛部必各自滿足方程。那兩個實函數，就是我們真正回報的答案。
尤拉公式正是指數與振盪實為同一事物之化身的祕密原因。衰減的彈簧（衰減包絡下的 cos 與 sin）與衰減的指數，都是 e^(r x) 在不同 r 下的特例，實 r 給衰減，虛 r 給振盪，複 r 一次給兩者。正是這種統一，使單一的指數猜測 y = e^(r x) 足以解出每一個常係數線性方程：公式悄悄把複數情形轉回你能畫出的三角函數。
由根 -1 + 2i：e^((-1+2i)x) = e^(-x)(cos 2x + i sin 2x)。實部 e^(-x) cos 2x 與虛部 e^(-x) sin 2x 是兩個實解。在公式中令 theta = pi，也得出著名的 e^(i pi) + 1 = 0。
尤拉公式把一個複指數解拆成它的實餘弦與正弦部分。
這種拆成實部與虛部解的做法，唯有因為常微分方程具實係數才成立。對複係數方程，一個解的實部與虛部未必各自滿足方程，cos/sin 化簡可能失效。