雙曲函數的變換（transform of hyperbolic functions）
雙曲函數 cosh 與 sinh 是餘弦與正弦的指數表親。三角這一對描述振盪，雙曲這一對則描述把 e^(at) 與 e^(-at) 組合起來所得的對稱增長與衰減。它們的變換補全了基本部件表，而且和三角的幾乎一模一樣——只差一個符號。
由定義 cosh(at) = (e^(at) + e^(-at))/2 與 sinh(at) = (e^(at) - e^(-at))/2。既然你已知 L{e^(at)} = 1/(s - a)，線性就把活全幹了：L{cosh(at)} = (1/2)[1/(s - a) + 1/(s + a)] = s/(s^2 - a^2)，而 L{sinh(at)} = (1/2)[1/(s - a) - 1/(s + a)] = a/(s^2 - a^2)。和三角的結果相比：唯一的差別是分母裡的一個減號，s^2 - a^2 而非 s^2 + a^2。這個單一符號就是振盪（加號）與指數混合（減號）之間的全部區別。
這些更常以反過來的方式出現——在反演時。如果部分分式的某一步留給你 s/(s^2 - 4)，你應該認出它不是振盪的東西，而是 cosh(2t)。分母裡的減號就是線索。等價地，s^2 - 4 = (s - 2)(s + 2) 在實數上可因式分解，所以你也能用部分分式把它反演成 (1/2)e^(2t) + (1/2)e^(-2t)——這恰好就是 cosh(2t)。兩條路通向同一處；雙曲捷徑只是省了一步。
反演 3/(s^2 - 16)。這裡 a^2 = 16 所以 a = 4，分子符合 sinh 的模式 a/(s^2 - a^2)（a = 4）。所以 3/(s^2 - 16) = (3/4) [ 4/(s^2 - 16) ] 反演成 (3/4) sinh(4t)。
分母裡是減號（s^2 - a^2）表示雙曲，而非振盪。
分母的符號決定一切：s^2 + a^2 給振盪（sin、cos），而 s^2 - a^2 給增長／衰減（sinh、cosh）。搞混它們會把穩定的擺動變成失控的指數。