部分分式分解（partial-fraction decomposition）
當你用拉普拉斯解一個初值問題時，代數會把 F(s) 交給你，形式是單一的多項式之比——一個又大又複雜的分式。那個分式通常對不上你表上的任何一列。部分分式分解就是把這個大分式拆回一堆又小又簡單的分式之和的代數主力，每一個你都認得且能反演。它是反演的主要工具。
其想法是把「分式相加」的過程倒著跑。你把分母因式分解成最簡單的部件——像 (s - 2) 這種線性因子，以及像 (s^2 + 4) 這種不可約二次式——然後把大分式寫成這些部件之上、分子未知的分式之和。一個相異線性因子 (s - a) 得到一項 A/(s - a)；一個重複因子 (s - a)^2 需要 A/(s - a) 與 B/(s - a)^2 兩項；一個不可約二次式 (s^2 + b^2) 得到一項 (Cs + D)/(s^2 + b^2)。接著你藉由消去分母並比對係數（或代入方便的 s 值）解出未知常數 A、B、C、D。結果是一個和，其中每一塊都是偽裝的表項。
它之所以如此重要，是因為它產生的每一塊都能一眼反演：A/(s - a) 是 A e^(at)；二次式那塊是正弦／餘弦（可能平移過）；重複因子帶來一個 t。所以分解就是從「代數給了我一個認不出的 F(s)」通向「我能一行一行讀出 f(t)」的橋。分母因子的形狀也不是任意的——它們恰是特徵方程的根，所以 s 域裡的部分分式映照了你手算會做的情形分析（實根、重根、複根）。
分解 1/((s - 1)(s + 2)) = A/(s - 1) + B/(s + 2)。消去分母：1 = A(s + 2) + B(s - 1)。令 s = 1：1 = 3A，所以 A = 1/3。令 s = -2：1 = -3B，所以 B = -1/3。因此反演結果是 (1/3)e^t - (1/3)e^(-2t)。
把一個醜分式拆成簡單的，再把每一塊一眼反演。
只有當分子的次數低於分母時，這個分解才能直接用。若不是，先做多項式長除把多項式部分分出來，再對剩下的真分式做分解。