路徑空間上的緊性判準

普羅霍羅夫告訴你，要證明一個泛函極限定理（過程 X_n 依律收斂到過程 X），你應該證明路徑律的緊性，然後辨識極限。但 C[0,1] 或 D[0,1] 上的緊性需要知道這些無窮維路徑空間的緊子集長什麼樣，再加上一個讓路徑以高機率留在這樣的緊集內的機率估計。本條目就是那套機器，每個不變原理中的主力計算。

在 C[0,1] 上，由阿爾澤拉-阿斯科利定理，一個集合相對緊當且僅當它在某一點一致有界且等度連續，即具有一致受控的連續模 w(x, delta) = sup{|x(s) - x(t)| : |s - t| <= delta}。所以 C[0,1] 上一族律 {P_n} 緊當且僅當初始值緊，且對每個 epsilon、eta 存在 delta 使 limsup_n P_n( w(X, delta) > eta ) <= epsilon，即路徑依機率一致等度連續。標準的充分條件是 Kolmogorov-Chentsov 動差界：若對某 alpha, beta > 0 一致地有 E|X_n(t) - X_n(s)|^beta <= C |t - s|^{1 + alpha}，則律在 C[0,1] 上緊（且極限具赫爾德連續路徑）。在 D[0,1] 上則用類比的斯科羅霍德模 w'(x, delta)，它允許每個小窗內有一個跳躍，以及 Billingsley/Aldous 型判準（常以停時表述：對停時 tau 控制 E[ |X(tau + h) - X(tau)| 與 |X(tau) - X(tau - h)| ]）。

因此在路徑空間中央極限定理的證明中，實用配方為：(1) 透過動差／連續模界檢驗緊性（C 上用 Kolmogorov-Chentsov，D 上用 Aldous）；(2) 由普羅霍羅夫抽取子序列極限；(3) 藉由計算有限維分布並把它們匹配到目標（布朗運動、一個李維過程）來辨識極限。誠實的警告：單靠有限維收斂「絕不」足以保證路徑空間中的收斂，你可以讓所有有限維分布都收斂，而過程作為隨機函數卻不收斂（質量可能集中在採樣時刻之間越來越窄的尖峰中）。緊性正是排除這類病態、把有限維收斂升級為泛函收斂的額外要件。