連續映射定理
若 X_n 依分布收斂到 X，則對某函數 g 而言 g(X_n) 會如何？第一卷你見過實數線上連續 g 的情形。連續映射定理把它推廣到度量空間之間的映射，並且關鍵地，把「處處連續」放寬為「在要緊處連續」。它是讓你把弱收斂推過變換的工具，是從泛函極限定理讀出泛函（最大值、積分、擊中時間）極限律背後的引擎。
設 S、S' 為度量空間、g: S -> S' 為可測映射。令 D_g 為 g 的不連續點集（一個波雷爾集）。定理陳述：若 X_n => X 於 S 中且極限律對不連續集不賦予質量，即 P(X in D_g) = 0，則 g(X_n) => g(X) 於 S' 中。換言之，只要極限幾乎必然落在 g 連續之處，像律就收斂。證明藉由斯科羅霍德表示一行搞定：實現具正確律的 Y_n -> Y 幾乎必然；因 Y 幾乎必然避開 D_g，連續性給出 g(Y_n) -> g(Y) 幾乎必然，故 g(X_n) => g(X)。等價地，利用 f 與 g 的合成在 D_g 外連續，檢驗對 f in C_b(S') 有 E[f(g(X_n))] -> E[f(g(X))]。
放寬為幾乎處處連續，正是使本定理在路徑空間如此有用之處。C[0,1] 上的上確界泛函 X |-> sup_t X(t) 連續，但在 D[0,1]（帶斯科羅霍德拓樸的右連左極路徑空間）上，像「在固定時刻 t 的值」這類泛函恰好在 t 處跳躍的路徑上不連續；定理仍適用，因為布朗或李維極限在固定確定時刻跳躍的機率為零。這就是 Donsker 定理如何即刻給出隨機漫步最大值的極限律：對布朗極限套用連續的 sup 泛函。
若 sqrt(n)(X_bar_n - mu) => N(0, sigma^2)（中央極限定理），套用連續映射 g(x) = x^2：則 n(X_bar_n - mu)^2 => sigma^2 * chi^2_1，因 g 處處連續故 D_g 為空。這是 delta 方法最簡單的實例，而它正是連續映射定理套用於高斯極限的光滑函數。
把中央極限定理推過連續映射，以得到變換後統計量的極限律。
假設 P(X in D_g) = 0 不能省略。若極限在 g 的不連續點上放正質量，結論可能徹底失效；g 僅僅可測是不夠的。