Portmanteau 定理
/ port-MAN-toh /
一旦你用「對所有有界連續 f 有 integral f dmu_n -> integral f dmu」來定義弱收斂，你馬上會想要其他檢驗方式，用集合、用 liminf 與 limsup、用更小的測試函數類。Portmanteau 定理（這個法文字意指一只裝很多東西的旅行箱，很貼切，因為它把許多等價陳述捆成一個）匯集了這些等價刻畫。每當你在實務中要驗證或利用弱收斂時，它就是你伸手去拿的主力工具。
對度量空間 S 上的機率測度 mu_n、mu，以下等價：(1) mu_n => mu，即對所有 f in C_b(S) 有 integral f dmu_n -> integral f dmu；(2) 對所有有界一致連續 f 有 integral f dmu_n -> integral f dmu；(3) 對每個閉集 F 有 limsup_n mu_n(F) <= mu(F)；(4) 對每個開集 G 有 liminf_n mu_n(G) >= mu(G)；(5) 對 mu 的每個連續集 A（意指 mu(A 的邊界) = 0）有 mu_n(A) -> mu(A)。閉集與開集的陳述藉由取補集而對偶，連續集的陳述則是通往累積分配函數定義的橋樑：在實數線上，(-infinity, x] 為連續集恰好當 x 是極限累積分配函數的連續點。
(3) 與 (4) 中的不對稱性，是不等式而非等式，正是全部的微妙之處。質量在極限中可能漏到閉集的邊界上（limsup 可能比預期多，故只得 <=），質量也可能從開集逃逸（只得 >=）。等式恰好在連續集上恢復，那裡沒有邊界質量要擔心。這就是為何實數線的定義要求 F 的連續點：它是 (5) 的一維投影。本定理是整個領域的概念核心，幾乎所有後續結果都靠檢驗它的某一條款來證明。
設 mu_n = delta_{1/n}（在 1/n 的點質量），mu = delta_0。取開集 G = (0, 1)。則對所有 n 有 mu_n(G) = 1 但 mu(G) = 0，故 liminf mu_n(G) = 1 >= 0 = mu(G)，與條款 (4) 相符但為嚴格不等式，因為 0 在 G 的邊界上。對連續集 A = [0, 1/2]（mu(邊界) = mu({0, 1/2}) = 0），我們確實得到 mu_n(A) -> 1 = mu(A)。
邊界承載極限質量的開集上出現嚴格不等式，而連續集上有精確收斂。
常見的失誤是期望對所有波雷爾集 A 都有 mu_n(A) -> mu(A)。它只對連續集成立。上面的點質量例子顯示 mu_n((0,1)) = 1 永不收斂到 mu((0,1)) = 0。