機率測度的弱收斂
第一卷告訴你，當隨機變數序列 X_n 的累積分配函數在極限的每個連續點都收斂時，X_n 依分布收斂到 X。那個定義綁在實數線上，因為累積分配函數只在那裡才有意義。但極限定理活在更豐富的空間裡：隨機函數活在 C[0,1]，隨機點型態活在測度空間，隨機圖活在它們自己的狀態空間。弱收斂正是把「依分布收斂」推廣到任意度量空間 S 的正確方式，也是高等極限理論的核心組織概念。
設 S 是帶有波雷爾 σ-代數的度量空間，令 P(S) 為 S 上所有波雷爾機率測度所成之集合。若對每個有界連續函數 f: S -> R 都有 E_{mu_n}[f] -> E_mu[f]，即 integral f dmu_n -> integral f dmu，則稱 P(S) 中的序列 mu_n 弱收斂到 mu，記作 mu_n => mu。「弱」一詞借自泛函分析：我們只用測試函數 C_b(S) 來檢驗測度，所以這是弱星（weak-star）意義下的收斂，把測度看成 C_b(S) 對偶空間的子集。對律為 mu_n 的隨機變數 X_n 而言，X_n => X 即指對所有有界連續 f 有 E[f(X_n)] -> E[f(X)]。
為什麼是有界連續函數，而不是所有有界可測函數？因為要求對任意集合的指示函數都收斂太強了（那會逼測度在離散意義下最終相等），而連續測試函數對恰好坐落在邊界上的質量不敏感，這正是讓一列原子能收斂到光滑極限、或讓離散近似能收斂到連續體物件的關鍵。本領域整座建築，包括 Portmanteau 定理、普羅霍羅夫定理、斯科羅霍德表示定理，都是為了給你關於這一個定義的許多等價而好用的把手。
設 mu_n 為 [0,1] 中 n 個點 {k/n : k = 1, ..., n} 上的均勻測度。對任意連續 f，integral f dmu_n = (1/n) sum_{k=1}^n f(k/n)，這是一個黎曼和，收斂到 integral_0^1 f(x) dx。所以 mu_n => [0,1] 上的勒貝格測度，儘管沒有任何單一 mu_n 接近連續，密度也從不收斂。
離散近似弱收斂到連續極限：這正是「弱」為何是正確概念的標誌。
弱收斂並不蘊含平均數或任何其他動差的收斂。若 mu_n 在 0 處放質量 1 - 1/n、在 n 處放質量 1/n，則 mu_n => delta_0 但平均數始終為 1；要過渡到動差需要均勻可積性。