普羅霍羅夫定理
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一族機率測度何時含有弱收斂子序列？在有限維度你也許援引關於累積分配函數的 Helly 選取定理，但在一般空間你需要更乾淨的緊性判準。普羅霍羅夫定理正是如此：它在波蘭空間上，把弱拓樸中的相對緊性，等同於具體可檢驗的緊性條件。它是機率測度版的波爾查諾-魏爾斯特拉斯／阿爾澤拉-阿斯科利定理。
設 S 為波蘭空間、Pi 為 S 上的機率測度族。普羅霍羅夫定理陳述：若 Pi 緊，則它在弱收斂下於 P(S) 中相對緊，即 Pi 中每個序列都有弱收斂子序列（其極限仍為機率測度）。反之，在波蘭空間上，相對緊蘊含緊性，故在波蘭空間上兩個概念等價。正向（緊蘊含相對緊）是主力且相當一般地成立；逆向用到 S 的完備性與可分性。正向的證明藉由對一列緊集做對角線論證，利用「機率測度限制在固定緊度量空間上時住在一個緊集中」（巴拿赫-阿勞格魯）來建構極限。
其威力在於它所執行的化約。證明一個泛函極限定理變成兩部分的計畫：(a) 證明律的緊性（常透過動差界或連續模界），由普羅霍羅夫給出子序列極限；(b) 證明每個這樣的極限都是同一個測度，通常藉由比對有限維分布或特徵泛函。沒有逆向，你也許會擔心緊性只是充分的；普羅霍羅夫告訴你，在波蘭空間上緊性是相對緊性精確的充要邊界，所以檢驗它毫無損失。
在 Donsker 不變原理中，人們證明重新縮放的隨機漫步 W_n(t) = S_{[nt]}/sqrt(n) 在 C[0,1] 上構成一個緊族（透過 Kolmogorov-Chentsov 連續模界）。普羅霍羅夫隨即在 C[0,1] 中給出子序列極限；比對有限維高斯分布辨識出唯一極限為布朗運動。緊性加上辨識就是整個證明。
普羅霍羅夫的實際運用：路徑空間上的緊性給出子序列極限，辨識把它們釘在布朗運動上。
「緊蘊含相對緊」這個方向很穩健，但逆向（相對緊蘊含緊）確實需要 S 為波蘭空間。在非波蘭空間上，相對緊的族可能不緊，故勿在波蘭設定之外引用此等價性。