機率測度空間
要說「mu_n 收斂到 mu」，你必須把測度本身看成某個空間中的點；而要做收斂與緊性論證，你會希望那個空間是個像樣的拓樸空間，甚至是度量空間。於是我們把度量空間 S 上所有機率測度的集合提升為一個獨立的空間，記作 P(S)，並研究其幾何。這種觀點的轉移，從個別測度轉到測度的空間，正是讓拓樸與泛函分析的強大機器能作用於極限定理的關鍵。
P(S) 是 S 上所有波雷爾機率測度的集合。我們以弱收斂拓樸賦予它拓樸：序列（或網）mu_n -> mu 於 P(S) 中當且僅當對所有 f in C_b(S) 有 integral f dmu_n -> integral f dmu。基本的結構事實是這個拓樸繼承了 S 的良好性質。若 S 可分且可度量化，則 P(S) 可分且可度量化（例如用 Levy-Prokhorov 度量或有界利普希茨度量）。若 S 是波蘭空間（可分、完備可度量化），則 P(S) 本身也是波蘭空間。所以好空間這一類在「構造其測度空間」這個運算下封閉，這正是你迭代構造（測度上的測度，如 de Finetti 理論或經驗測度極限中）所需要的。
P(S) 是凸集：混合 t*mu + (1-t)*nu 仍是機率測度；其極點是狄拉克質量 delta_x，x 跑遍 S。事實上映射 x |-> delta_x 把 S 同胚地嵌入 P(S)，所以 S 以極端邊界的形式坐落在 P(S) 之內。P(S) 中的緊性由緊性透過普羅霍羅夫定理掌管，這正是實用上的收穫：關於律收斂的問題化為關於一個固定空間 P(S) 子集（相對）緊性的問題。
在 S = R 上，n 個獨立同分布樣本的經驗測度 L_n = (1/n) sum_{i=1}^n delta_{X_i} 是 P(R) 中的一個隨機點。格利文科-坎泰利定理說 L_n（幾乎必然地，於 P(R) 中）收斂到真實律，而薩諾夫定理描述 L_n 偏離它的大偏差，兩個陳述都只有在 P(R) 本身成為一個空間後才有意義。
經驗測度作為 P(S) 的隨機元素：把測度當成點，便解鎖了關於律的大數法則與大偏差陳述。
P(S) 的可度量化需要 S 可分；對不可分的 S，弱拓樸可能不可度量化，此時必須改用網或限制在可分支撐上。在機率學中，我們幾乎總是假設 S 為波蘭空間，正是為了避開這點。