Levy-Prokhorov 度量
/ lev-EE pro-KHOR-ov /
弱收斂被給定為一個拓樸，但對於估計與定量工作，你會想要測度之間真正的距離來度量它：一個數 d(mu, nu)，恰好在測度弱接近時才小。Levy-Prokhorov 度量是可分度量空間 S 上 P(S) 的典範此類距離。它把經典的 Levy 度量（在 R 上藉由兩條累積分配函數圖形的最大間隙度量其弱收斂）推廣到任意度量空間。
對 S 中的集合 A 與 r > 0，記 A^r 為其 r-鄰域，即與 A 距離不超過 r 的點集。機率測度 mu、nu 之間的 Levy-Prokhorov 距離為 pi(mu, nu) = inf { r > 0 : 對所有波雷爾集 A 有 mu(A) <= nu(A^r) + r 且 nu(A) <= mu(A^r) + r }。它說兩個測度在把質量稍微散開（鄰域 A^r）並稍微損失（加性的 r）之後相符。關鍵定理：在可分度量空間 S 上，pi 是 P(S) 上真正的度量，且它度量弱收斂拓樸，pi(mu_n, mu) -> 0 當且僅當 mu_n => mu。若 S 又完備（波蘭），則 (P(S), pi) 本身是完備可分度量空間，即波蘭空間。
除了度量弱收斂，Levy-Prokhorov 度量透過 Strassen 定理有一個漂亮的耦合詮釋：pi(mu, nu) <= r 本質上等價於存在耦合 (X, Y) 滿足 X ~ mu、Y ~ nu 且 P(d(X, Y) > r) <= r。所以 Levy-Prokhorov 距離小意味著兩個測度能被耦合到以高機率接近。這使它成為耦合理論與定量弱收斂界中的主力，不過對於動差的收斂，人們通常改用 Wasserstein 距離，因為 Levy-Prokhorov 只控制依分布收斂，而非任何動差的收斂。
取 R 上的 mu = delta_0 與 nu = delta_a（小的 a > 0）。對 r >= a，每個集合 A 都有 delta_0(A) <= delta_a(A^r) + r，反之亦然（一旦 r >= a，點 a 落在 {0}^r 中），而對 r < a 則可能失效。所以 pi(delta_0, delta_a) = min(a, 1)（受加性 r 上限約束）；當 a -> 0 時得 pi -> 0，與 delta_a => delta_0 相符。
兩個點質量：Levy-Prokhorov 距離隨其間距縮小，度量了弱收斂。
Levy-Prokhorov 距離小只控制依分布收斂，絕不控制動差。要界定 E[X] 之差，你需要 Wasserstein 度量（它對距離積分）加上均勻可積性或動差假設。