均勻可積性與動差的收斂
你在第一卷已遇過均勻可積性，作為使 L^1 有界鞅在 L^1 中收斂、並在沒有控制函數下拯救控制收斂定理的條件。這裡我們為一個特定任務重訪它：它是從依分布收斂到動差收斂的精確橋樑。知道 X_n => X 並不告訴你 E[X_n] -> E[X] 是否成立；均勻可積性正是使該蘊含為真的那個缺失假設。
一族隨機變數 {X_i} 稱為均勻可積，若當 K -> infinity 時 sup_i E[ |X_i| ; |X_i| > K ] -> 0，即尾部對平均數的貢獻在族間一致地小。等價地（de la Vallee-Poussin），存在函數 phi 滿足 phi(t)/t -> infinity 使 sup_i E[phi(|X_i|)] < infinity，例如對某 delta > 0 對 E[|X_i|^{1 + delta}] 的一致界蘊含均勻可積性。關鍵定理：若 X_n => X（依分布收斂）「且」族 {X_n} 均勻可積，則 E[X_n] -> E[X]，且 X 有有限平均數。更一般地，若 {|X_n|^p} 均勻可積且 X_n => X，則 E[X_n^p] -> E[X^p]；p 次方的均勻可積性正是把依律收斂升級為 p 階動差收斂者。這也是「Wasserstein-p 收斂等於弱收斂加上 p 次方的均勻可積性」這個陳述。
沒有均勻可積性，這個蘊含就直接失效，而這個失效是整個領域典範的警示例子：X_n 以機率 1/n 取 n、否則取 0，則 X_n => 0 但 E[X_n] = 1 永遠不變，因為這個族不均勻可積（在 n 處逃逸的質量攜帶固定量的平均數）。所以每當有人從一個分布極限過渡到關於期望值、變異數或任何動差的陳述時，去找均勻可積性（或一致的高階動差）假設：它正在做所有的工作，省略它是真正的錯誤，而非無害的簡化。
設 X_n 為 N(0, 1 + 1/n)，故 X_n => N(0,1) 依分布收斂。族 {X_n^2} 均勻可積，因為 sup_n E[X_n^4] = sup_n 3(1 + 1/n)^2 <= 12 < infinity（一個一致的四階動差界）。因此 Var(X_n) = E[X_n^2] -> E[X^2] = 1：弱收斂加上平方的均勻可積性給出變異數的收斂。
一致的四階動差界使平方均勻可積，故變異數隨著分布一同收斂。
單靠依分布收斂絕不給出任何動差的收斂。X_n 以機率 1/n 取 n 的例子有 X_n => 0 但 E[X_n] 恆為 1。相關次方的均勻可積性是不可協商的額外假設。