蒂勒微分方程（Thiele's differential equation）
/ TEE-luh /
想象你连续地、一秒一秒地观察一张保单的准备金，而不是一年才看一次。在每一瞬间，有三件事在牵动准备金：准备金正在赚取利息、保费正在流入，并且时刻存在一份微小的风险——必须赔付一笔赔款。蒂勒微分方程就是在这三种力作用下、准备金在每一瞬间如何变化的精确规则——它是逐年准备金递推式的连续时间版本。
准确地说，对于连续缴费的保单，方程指出：准备金 V(t) 的变化率，等于赚取的利息，加上收到的保费，减去为当下身故者支付（给付与当前准备金之差）的期望成本。用符号表示，dV/dt = delta * V(t) + P(t) - mu(x+t) * (b(t) - V(t))，其中 delta 是利息力，P(t) 是保费率，mu 是死亡力，b(t) 是给付。最后一项是瞬时的“保险成本”：每发生一次身故，保险公司必须把准备金补足到全额给付，而这份风险净额（b - V）每单位时间花费 mu。
蒂勒方程由丹麦精算师 T. N. Thiele 于 1875 年提出，是现代生命相依理论的理论支柱，也是多状态马尔可夫模型的天然语言——在那里每个状态都写出一条这样的方程。实务中准备金通常仍由离散递推式计算，或通过对蒂勒方程做数值积分来求解，但这个方程给出了准备金为何移动的最清晰概念图景：它把三个驱动因素（利息、保费、死亡风险）分成三个干净的项，揭示了每一笔准备金内部的引擎。
在准备金为 1.5 万元、给付 10 万元、利息力 0.04、保费率每年 700 元、死亡力 0.012 的某一瞬间，准备金的变化率为 dV/dt = 0.04*15000 + 700 - 0.012*(100000 - 15000) = 600 + 700 - 1020 = 每年 280 元。
准备金变化 = 利息 + 保费 - 风险净额上的死亡成本。
死亡项作用于风险净额（给付减去准备金），而非全额给付——因为准备金已经预留好了，只有缺口部分需要由当期死亡费用来补足。