准备金递推公式（recursive reserve formulas）

与其每年从头开始、把全部未来现金流相加来重算准备金，你可以让它一步一步地增长，就像更新银行余额：取去年的准备金，加上今年的保费，让它赚取利息，然后为当年身故的人赔付，再把剩下的分摊给存活者。准备金递推公式就是这些一步一步的规则，把一年年初的准备金变成年末的准备金。

准确地说，完全离散保单的基本递推式说：（第 t 年年初的准备金 + 当年净保费）按利息累积一年 (1+i)，必须够支付当年身故者的身故给付，加上存活者所需的准备金。用符号表示，(t-V + P)(1+i) = q_(x+t) * b + p_(x+t) * (t+1)-V，其中 q 是死亡概率，p = 1 - q 是生存概率，b 是给付。这句话是说：结转的钱按利息增长后，恰好够支付赔款并重新建立下一年的准备金。重新整理后，它清晰地把当年的“保险成本”与构筑准备金的“储蓄”分开。

这些递推式正是生产软件中实际计算准备金的方式——它们快速、数值稳定，并揭示了一个保单年度的内在机制（计入的利息、死亡费用、准备金的累积）。它们还可推广到多状态和多重失效模型。这同一个平衡式的连续时间极限，就是 Thiele 微分方程。唯一需要理清的是时间约定（保费在年初、给付在年末），因为把利息、保费和身故的顺序弄错，正是准备金出现差一期错误的经典原因。