傅里叶级数的逐项积分

积分是求导那温和、宽容的表亲。对傅里叶级数逐项求导可能炸开，而逐项积分却几乎总能奏效——你只需求出每个正弦和余弦的原函数，把它们加起来，就得到了原函数的积分。这使逐项积分成为一件可靠的日常工具，是推动傅里叶级数的那个安全方向。

为什么它如此规矩？对 cos(n pi x / L) 积分，得到 sin(n pi x / L) 除以 (n pi / L)，于是每个系数多出一个因子 1/n——高次谐波被压低，而不是被放大，收敛只会变得更好。确切的陈述是：若 f 仅仅在周期上可积（它甚至可以有跳变），那么你可以对它的傅里叶级数逐项积分，结果收敛到 f 的积分。只有一个记账上的微妙之处：常数项 a_0/2 积出一条直线 (a_0/2) x，它不是周期的，所以积分后的级数等于 f 的积分再加上那条线性斜坡——你要把这条斜坡显式地纳进来，而不要指望拿回一个纯粹的傅里叶级数。

这是真正有用的，而不只是令人安心。你可以对一个已知的傅里叶级数积分，免费发现一个新的；你可以为解一个积分方程时的傅里叶级数步骤提供正当性；你还可以用它推导系数求和恒等式。它是获得越来越光滑表示背后的那个运算：积分一次，一个锯齿状的 1/n 级数就变成一个抛物线状的 1/n^2 级数，后者一致收敛、看起来明显更顺眼。