傅里叶级数的逐项微分

如果一个函数等于正弦和余弦的无穷和，人们就忍不住想：直接对每一项求导再把结果相加，不就得到它的导数了吗——把 cos(n pi x / L) 逐项变成 -(n pi / L) sin(n pi x / L)。有时这恰好正确，而且妙不可言地方便。但它是逐项运算中风险最大的一个，因为求导会把每个系数乘以 n，这放大了高次谐波，可能毁掉原本良好的收敛。

可用的规则是：你可以对傅里叶级数逐项求导、并得到 f' 的傅里叶级数，前提是 f 连续（包括跨越周期、端点值相匹配）且 f' 本身分段光滑。连续性是关键的闸门。求导把第 n 个系数乘以一个正比于 n 的因子，于是原本像 1/n^2 那样衰减（快到能漂亮地求和）的系数，变成只像 1/n 那样衰减——而如果原来的 f 有跳变，它的系数本来就只像 1/n 那样衰减，那么求导之后它们根本不衰减，微分后的级数发散。一句话，f 中（或周期接缝处）一个隐藏的间断，正是毒害逐项求导的东西。

这个告诫不是吹毛求疵；它正是用傅里叶方法解微分方程需要谨慎的实际原因。当你提出一个傅里叶级数解、把它代入一个含导数的方程时，你其实在隐式地逐项求导，而整个计算的正当性，取决于这个解是否足够光滑。安全的习惯是先检查端点处的连续性：一个在端点不为零的函数的正弦级数，或一个端点斜率非零的函数的余弦级数，其周期延拓里藏着一个跳变，不应盲目地去求导。