张量型（价）

张量的型（或价）记录它有多少个向量槽与多少个协向量槽。一个 (p, q) 型张量以 q 个向量与 p 个协向量为输入（或对偶地，生活在 p 个 V 与 q 个 V* 的张量积中）。数 p 计逆变槽，数 q 计协变槽，而 p + q 是阶。这就是物理学分类张量的方式。

具体词典。标量是 (0,0) 型。向量是 (1,0) 型：一个上指标 v^i。协向量或线性泛函是 (0,1) 型：一个下指标 w_j。线性算子 / 矩阵是 (1,1) 型：T^i_j，一上一下。度量（一个内积）是 (0,2) 型：g_ij，两个下指标。逆度量是 (2,0) 型：g^ij。

这两种槽不可互换，因为它们在换基下变换方向相反——这正是上指标与下指标之分的全部要义。逆变（上）分量按基变换的逆来变换；协变（下）分量则按基变换本身来变换。把它们混为一谈是经典的错误来源，也是你为何不能自由地把一个上指标与一个下指标的角色相加的原因。

型是使各种运算合法的记账法。缩并把一个上槽与一个下槽配对，从而把型从 (p,q) 降为 (p-1,q-1)。张量积把型相加：一个 (p,q) 乘以一个 (r,s) 给出 (p+r, q+s)。借助度量的升降指标，把一个上指标换成一个下指标（或反之），同时保持总阶不变——在同一阶内的诸型之间移动。