指标记号与爱因斯坦求和

指标记号通过张量的分量、配以带标号的槽位来书写张量，并区分上指标（对应向量 / 逆变槽）与下指标（对应协向量 / 协变槽）。向量是 v^i，协向量是 w_i，矩阵或 (1,1) 张量是 T^i_j，而一般的 (p,q) 张量带 p 个上指标与 q 个下指标。指标的位置编码了每个槽位在换基下如何变换。

爱因斯坦求和约定是一条省力规则：每当同一个指标在一项中一上一下各出现一次，你就自动对它求和，省去求和号 sigma。所以 v^i w_i 表示 sum_i v^i w_i，而 A^i_j v^j 表示 sum_j A^i_j v^j。重复的上下指标称为哑指标（它消失）；不重复的称为自由指标（它在结果中存留）。

这个约定不只是简写；它还是一种正确性检查。一个良构的表达式必须在等式两边有匹配的自由指标，且每个重复指标都恰好一上一下各出现一次。若你竟对两个上指标求和，约定便将其标记为不合法——这是一个内建的警告，提示你已暗中假设了一个度量。

这是多重线性代数的日常记账法，也是物理学家用于相对论的语言。各种运算化为指标操作：缩并就是重复一对上下指标，张量积不过是把指标并排写出（T^i S^j），而 Kronecker delta delta^i_j 或度量 g_ij 则是把一切黏合起来的常张量。