缩并

缩并是这样一种运算：它把一个张量的某个上（逆变）指标与某个下（协变）指标配对并对它们求和，从而使张量收缩两个槽位。它是不另选额外结构便缩小张量的唯一典范方式：它利用了向量槽与协向量槽之间内建的配对。

最简单的情形是迹。一个 (1,1) 型张量 T 的分量为 T^i_j；把 i 与 j 缩并得到标量 sum_i T^i_i，这恰好就是对应矩阵的迹。所以“迹”就是一上一下张量的缩并，而它与基无关，无非就是说缩并定义良好这件事。

矩阵与向量、矩阵与矩阵的乘积也是改了装的缩并。(A*v)^i = sum_j A^i_j v^j 把 A 的下指标与 v 的上指标缩并。(A*B)^i_k = sum_j A^i_j B^j_k 把共有的中间指标缩并。线性代数里每一处“一个指标在上、另一个在下”的求和，都是一次缩并。

关键的诚实之处：你只能把一个上指标与一个下指标缩并。把两个上指标或两个下指标求和并非典范运算——它暗中依赖于内积（度量）的选取。这正是升降指标的角色：度量让你能合法地转换一个指标，从而使缩并成为可能。