升降指标

升降指标是这样一种运算：它借助一个度量（一个内积），在向量与协向量之间——在上指标与下指标之间——相互转换，而不改变底层的几何对象。它是“内积让你能把 V 与其对偶 V* 典范地等同起来”这一事实在指标演算上的面孔。

降指标用度量 g_ij：由向量 v^i 造出协向量 v_j = sum_i g_ij v^i。升指标用逆度量 g^ij：由协向量 w_j 还原向量 w^i = sum_j g^ij w_j。因为 g^ij 是 g_ij 的逆，这两个运算互相抵消，于是只要你手边备着一个度量，就可以随意把任何指标往上或往下滑。物理学家称此为指标体操。

在标准正交基下，度量是单位的，g_ij = delta_ij，所以升降指标看不出任何变化：一个向量与“它的”协向量的分量在数值上相等。这恰恰是为何在第一门线性代数课里，你从未察觉行向量与列向量是两个不同物种的区别——标准点积一直在默默地把它们等同起来。

一旦度量不再是单位的，这个区别便轰然回归：在弯曲空间中，在用闵可夫斯基度量的相对论里（那里升一个时间指标会翻转符号），或每当你使用加权内积时。那时 v^i 与 v_i 确实不同，你必须追踪哪个是哪个。干净的陈述是 Riesz 表示定理：度量提供了 V 与 V* 之间那个使升降指标定义良好的典范同构。